볼록 연꼴 및 정다각형의 내접 타원에 관한 연구

Abstract

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 임의의 삼각형 또는 볼록 사각형은 무한한 개수의 내접 타원을 갖는다(Agarwal et al., 2015). 그런데, 삼각형의 경우 내부의 임의의 점에 대하여 그 점을 초점으로 갖는 내접 타원이 존재하는 반면(박정현 외, 2020), 평행사변형의 내접 타원의 한 초점이 될 수 있는 점들의 집합은 특정 자취를 이룬다(박경수 외, 2021). 이에 평행사변형이 아닌 다른 볼록 사각형의 경우 그 내접 타원의 초점의 자취가 어떻게 그려지는지에 대해 의문을 가지게 되어, 그러한 사각형 중 볼록 연꼴의 내접 타원에 대하여 초점의 성질을 탐구하고자 하였다. 그 결과, 본 연구에서는 볼록 연꼴 내부의 한 점이 내접 타원의 초점이 되는 것과, 그 점을 네 변에 대해 대칭시킨 점들이 공원점인 것, 그리고 그 점이 사각초점인 것이 서로 동치 관계임을 증명하였다. 이를 바탕으로, 마름모가 아닌 볼록 연꼴의 내접 타원의 초점의 자취는 대칭축인 대각선 및 대칭축 위에 있지 않은 두 꼭짓점과 내심을 지나는 원호임을 보였다. 나아가 볼록 연꼴의 내접 타원의 초점의 자취를 활용하여 변의 개수가 5 이상인 정다각형의 내접 타원은 내접원뿐임을 증명하였는데, 이는 기존의 사영기하학적 접근(Agarwal et al., 2015)과는 다른 방식으로 내접 타원의 유일성을 보였다는 것에 의의가 있다.