사각형의 슈타이너 내접 타원과 마든의 정리에 대한 연구

Abstract

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 삼각형에서 정의되는 슈타이너 내접 타원은 내접 타원 중 최대의 넓이를 가지고, 슈타이너 내접 타원과 삼각형의 넓이는 일정한 비를 가진다. 또한 슈타이너 내접 타원은 마든의 정리를 만족시킨다. 본 연구에서는 삼각형에서 정의되는 슈타이너 내접 타원을 사각형으로 확장하여 사각형의 슈타이너 내접 타원의 존재성 및 성질, 사각형의 마든의 정리의 성립 유무 등에 대해 탐구하였다. 본 연구를 통해 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 사각형의 슈타이너 내접 타원이 존재하는 사각형은 평행사변형임을 발견하였다. 두 번째, 사각형의 슈타이너 내접 타원이 사각형의 내접 타원 중 최대의 넓이를 가짐을 발견하였다. 또한, 사각형의 슈타이너 내접 타원의 넓이와 사각형의 넓이 사이에는 일정한 비가 성립함을 발견하였다. 세 번째, 사각형의 마든의 정리가 성립함을 발견하였다. 즉, 사각형의 네 꼭짓점과 사각형의 슈타이너 내접 타원의 두 초점 사이의 관계를 발견하였다. 네 번째, 사각형의 슈타이너 내접 타원을 그리는 방법을 발견하였다. 본 연구에서는 삼각형에서 정의되는 슈타이너 내접 타원을 사각형으로 확장하였다. 이렇듯 수학적 개념을 확장한다는 측면에서 수학의 발전에 기여할 수 있을 것이라 기대한다. 또한 본 연구를 통해 슈타이너 내접 타원의 확장에 대한 연구가 활발히 진행될 것이라 기대한다.