유한요소법을 이용한 분자 시스템의 전자 밀도 계산에 관한 연구

Abstract

순이론적 방법을 유한 요소법으로 대체하면 전자 밀도를 계산하는 속도를 향상시켜 큰 규 모의 문제를 다룰수 있다. 원자핵 위치의 전자밀도에 대한 특이점을 제거한 삼차원 Thomas-Fermi-Amaldi(TFA) 방정식을 수식화 하였다. TFA방정식은 유한요소법으로 이산화 하였고 하트리팍 방법과 비교 검증하였다. Parr에 의하여 제안되고 원자핵의 전자밀도 특 이점을 제거한 수정된 TF 방정식을 분자에 대한 식으로 확장하였으며 Dirac의 교환에너지 대신 Amadi 교환에너지를 사용하였다. 분자 첨점 조건은 원자핵에서 전자 밀도의 기울기 를 묘사한다. 따라서 분자 첨점 조건을 만족하는 여분의 식이 필요하다. 삼차원 TFA방정식은 전자 밀도를 변수로 하며 유한요소법을 이용하여 이산화하여 전자 밀 도를 결정한다. TFA 방정식의 약화식은 에너지 범함수에 변분을 취하여 구할 수 있고 병 치 방법을 적용하여 이산화한다. 에너지 범함수를 구성하는 각 항들 중에 전자간 상호작 용에 대응하는 항이 야코비 행렬에서 영이 아닌 비대각 요소를 만들어 희소 행렬을 형성 하지 못하므로 전자간 상호작용에 대응하는 항을 정전기 전위로 대체하여 희소 행렬를 구 성할 수 있다. 포와송 방정식은 선형 편미분 방정식이지만 TFA방정식은 비선형 대수 방정 식이므로 포와송 방정식과 삼차원 TFA방정식을 축차적으로 풀어서 전자밀도와 정전기 전 위를 수렴할 때까지 갱신한다. 전자밀도는 항상 양수이어야 한다는 제한 조건을 만족하여야 하므로 전자 밀도를 갱신하 는 방향이 전자 밀도 부등식 제한 조건을 위반하지 않아야 한다. Rosen의 기울기 사영 방 법을 사용하여 전자 밀도가 양의 값으로 갱신하도록 한다. 하지만 수렴 속도가 매우 느려 지기 때문에 arc-length 방법을 사용하여 수렴 속도를 증가시켰다. 본 논문에서 제시한 방법을 검증하기 위하여 He, Be, Ne, Mg, Ar, Ca 원자와 H2, CH4, 탄 소 나노 튜브, 메탈 클러스터 분자에 대한 전자 밀도와 총 에너지를 Hartree-Fock방법의 결과 비교하였다. 전자 밀도는 HF방법의 결과와 잘 일치하였다. 위에서 언급한 분자에 대 하여 운동에너지, 전자-전자 에너지, 전자-핵 에너지 그리고 핵-핵 에너지로 구분하여 계 산하였으며 HF방법과 잘 일치하였다. 원자에 대한 화학 포텐셜은 실험치와 근접한 값을 계산하였다.