비정렬 혼합 격자계에서 고차-고해상도의 ESWENO-P 기법에 대한 수치적 연구

Abstract

전산유체역학은 여러 수치적 기법을 통해 주어진 유동 문제에 대하여 정확한 해를 얻는 것을 주 목적으로 한다. 특히, 상대적으로 유동 변동의 크기가 매우 작은 음파를 관측해야 할 경우, 일반 적인 전산유체역학 수치 기법을 사용해서는 매우 많은 수의 격자를 사용하여야만 높은 정확도로 이러한 음파를 관측할 수 있다. 하지만 이 방법은 매우 큰 해석 시간 및 컴퓨터 자원을 요구하기 때문에 비효율이다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 최근에는 고차정확도의 수치 기법 연구가 활발히 진행되고 있다. 이 기법은 비교적 적은 수의 격자로도 높은 정확도의 해를 얻을 수 있기에, 최근 공력음향학의 발달과 더불어 그 중요성이 커지고 있다. 이러한 고차정확도의 기법 중 가장 널리 쓰이는 수치 기법은 WENO scheme이다. 하지만 이 WENO scheme은 추후 국부적으로 극점이 존재하는 유동장을 해석하는 데 있어, 해의 해상도가 떨어진다고 알려졌다. 이러한 문제는, WENO scheme에서 수치 기법의 안정성을 증가시키기 위하여 도입한 weighting function이 너무 과도하게 작용하기 때문으로 밝혀졌다. 이러한 문제를 해결하기 위하여, mapping function을 이용한 WENO-M scheme이 가장 먼저 개발되었으며, WENO-M scheme의 계산량 문제를 해결한 WENO-Z scheme, ESWENO scheme이 잇달아 개발되었다. 또 한, 최근에는 비교적 성긴 격자에서도 WENO 계열 scheme의 해상도를 증가시키기 위하여 미세 조정 항을 weighting function에 도입한 WENO-ZP scheme도 제안이 되었다. 하지만, 새롭게 제안된 ESWENO scheme은 특히 7차 정확도에서 수치적 불안정성이 크게 나타나는 것으로 보여졌다. 또한, WENO-ZP scheme의 경우, 미세 조정 항에 포함된 사용자가 설정해야 하는 파라미터에 의하여 수치 기법의 해상도가 너무 크게 바뀌며, 이 값 또한 주어진 유동 문제에 대 하여 각각 다르게 설정되어야 한다는 큰 문제가 있는 것으로 밝혀졌다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 우선 본 연구진은 새로운 파라미터를 ESWENO scheme의 가중치 식에 적용하였다. 이후, WENO-ZP scheme에서 제안된 미세 조정 항을 수정된 가중치 식에 추가로 적용하였으며, 미세 조정 항에 포함된 사용자 설정 파라미터에 대해 parametric study를 수행하여 최적의 값을 제안하였다. 이렇게 제안된 ESWENO-P scheme를 Sod, Lax의 shock tube 문제와 Shu-Osher, Titarev-Toro의 shock entropy 문제와 같은 일차원 유동 문제에 적용하여 수치 기법 검증을 수행하였다. 더 나아가, 제자리 와류 문제, 와류의 대류 문제 및 초음속 bump 문제와 같은 이차원 유동 문제에 대해 서도 ESWENO-P scheme을 적용하여 검증을 수행하였으며, 2차원 AVI 문제에 적용하여 ESWENO-P scheme의 해상도를 다른 scheme과 비교하였다. 최종적으로 ESWENO-P scheme을 실제 삼차원 유동 문제에 적용하기 위하여, 3D explosion test case, 비점성 Caradonna Tung 제자리 비행 문제, 3차원 BVI 문제와 같은 삼차원 유동 문제에 ESWENO-P scheme을 적용하여 검증을 완료하였다. 위 해석을 통해 ESWENO-P scheme이 다른 WENO family scheme과 비슷한 계산량으로도 더 높은 해상도 및 안정성을 보이는 것을 확인하였으며, 더 높은 해상도로 와류 및 충격파, BVI 현상을 포착하는 것을 확인할 수 있었다.