Analysis of stress concentration and plasmon resonance

Abstract

이 학위논문에서는 경도함수 발산현상과 플라즈몬 공명현상으로 불리는 두가지 물리현상을 다루고 있다. 두 전도체가 서로 가까이 있는 경우, 둘 사이의 좁은 영역에서는 전기장(electric field)이 매우 커지는 현상이 나타난다(전기장 집중). 이와 비슷하게 탄성을 갖는 두 물체가 가까이 있는 경우에는 응력(stress)의 값이 매우 커지게 된다.(응력 집중). 전기장과 응력은 모두 어떤 elliptic PDE의 해의 경도함수(gradient)로 표현된다. 즉, 집중현상은 경도함수의 발산현상으로 간주할 수 있다. 전기장 집중 현상에 대한 이 논문의 연구결과는 다음과 같이 두가지 경우를 다루고있다: (1) 3차원 공간안에 있는 두개의 perfect conducting sphere, (2) 2차원 공간안에 있고 임의의 유한한 전도도를 갖는 두개의 circular cylinder. 이 두가지 경우 각각에 대해, 두 물체가 서로 가까이 있을 때 전기장의 asymptotic expansion 을 유도하였다. 탄성체에 대한 이 논문의 연구는 다음과 같은 두가지 경우를 다루고 있다: (1) 2차원 공간 안에 있는 두개의 circular holes, (2) 2차원 공간 안에 있고 임의의 모양을 갖는 두개의 hard inclusions. 이들 경우에 대해 응력의 asymptotic expansion을 유도하였다. 특히, 탄성체 경우는 수학적인 어려움으로 인해 이전 연구들에서는 진전이 거의 없었는데, 이 논문의 연구에서 이를 극복하는 새로운 방법들을 개발하여 적용하였다. 플라즈몬 공명현상은 유전율(permittivity)의 값이 음수인 물체에서 나타나는 현상이다. 대부분의 경우 물질의 물성은 양수인 값을 가지지만, 음수인 값을 가질 경우 매우 특이한 현상들이 나타나게 된다. 유전율이 음수인 경우에는 물체의 표면에서 전자기장이 응축되는 현상이 나타나는데, 이것이 바로 플라즈몬 공명현상이다. 플라즈몬 공명현상의 수학적인 분석은 Neumann-Poincar\'{e}(NP) operator 의 spectral analyis 와 직접적인 관련이 있다. NP operator는 elliptic PDE 의 경계값 문제를 풀고자할 때 나타나는 적분형태의 연산자이다. 최근 그러나 새로운 내적을 도입할 때 NP-operator가 self-adjoint하게 된다는 사실이 밝혀져, spectrum에 대한 연구가 이루어지고 있다. 어떤 영역의 경계의 모양이 충분히 부드러운 경우, 그에 해당하는 NP operator는 항상 discrete spectrum을 갖는다. 그러나 영역의 경계가 Lipshitz인 경우, 즉 corner가 있는 경우에는 NP operator가 continuous spectrum을 가질 것이라고 추측되고 있었다. 이 논문에서는 continuous spectrum을 갖는 Lipschitz domain의 첫번째 example을 발견하였는데. 그 모양은 intersecting disks 이다, Intersecting disks에 대하여, continuous spectrum을 규명하고 더 나아가 NP-operator의 완전한 spectral resolution을 유도하였다. 또한, continuous spectrum 에서 발생하는 플라즈몬 공명현상을 분석하였다. 플라즈몬 공명현상에 대한 두번째 연구결과는 다음과 같다. 유전율 값이 음수인 물질로 eccentric annulus 모양의 구조를 만들면 새로운 종류의 정전기 차폐(shielding)현상이 나타남을 발견하였다. 일반적인 차폐를 위해서는 도체로 에워싸는 것이 필요하지만, 이 새로운 차폐현상을 이용하면, 에워싸는 물질이 없더라도 전기장을 차단시킬 수 있게 된다. 이 현상의 이론적 규명을 위해서 M\"{o}bius transform이라는 등각사상(conformal map)을 이용하였다.