Mathematical understanding of biological diffusion

Abstract

일반적으로 생물체는 주어진 환경에 따라 전략을 바꾸어 먹이를 찾거나 적을 피하기 위해 이동한다. 만약 생물체가 주변에 먹이가 있는지 여부를 알 수 있는 정보를 가지지 못한다면 균일한 분포로 퍼지는 이동을 할 것이다. 이에 확산은 이러한 생물학적 이동 현상을 설명하는데 쓰이는 주요한 개념이다. Fick의 법칙은 널리 알려진 확산 모델로서 다음과 같다. $$u_t=\triangledown\cdot(d\triangledown u),\

\

d=\frac{

\Delta x

^2}{2n\Delta t}.$$ Fick의 법칙은 확산 계수 $d$가 상수인 경우, 즉 균일한 확산 현상을 설명하는데 유효하기 때문에, 많은 연구자들은 생물학적 확산현상을 설명하는 모델에서 확산 계수를 상수로 간주해왔다. 하지만 생물체는 먹이나 천적같은 주변 환경의 여러 요인에 따라 비균일하게 움직이고 이것은 편향된 이동의 형태로 귀결된다. \cite{CK}에서는 이러한 생물학적 확산 현상을 설명하기 위한 `기아 주도 확산 모델'이 제시되었으며 이는 다음과 같다. $$u_t=\triangledown\cdot(\frac{D}{S}\triangledown(Su)),\

D=\frac{

^2}{2n\Delta t},\

S=\frac{\Delta x}{\Delta t}.$$ 여기서 $S$ 는 종의 이동 속도를 나타내는 운동성 함수이다. 이 새로운 확산 모델은 여러가지 흥미로운 연구 결과들을 유발하고 이에 따라 생물학적 확산 현상에 대한 이해를 좀 더 발전시킬 수 있을 것으로 기대된다. 본 논문은 '기아 주도 확산 모델'을 통해 여러 생물학적 비균일 확산 모델을 개선하고자 한다.