The weil conjectures for elliptic curves

Abstract

1949년에 Andre Weil는 유한체 위에서 정의된 variety상의 점들에 대한 추측들을 발표했다. 이 추측은 Weil, Dwork, M.Artin, Grothendieck, 그리고 Deligne에 의해서 최종적으로 증명이 되었다. Projective line에 대해서는 Weil의 추측은 매우 당연하다. 이 추측의 첫 번째 자명하지 않은 경우는 바로 타원곡선이다.

타원곡선은 긴 역사와 함께 다양한 수학분야에 활용이 되고 있다. 큰 수의 소인수분해와 소수판별, 암호이론, 그리고 유명한 페르마의 마지막 정리의 증명 등에 활용이 된다. 첫 번째 장에서는 타원곡선이라는 용어가 어떻게 정의되었는지 역사적 흐름 속에서 살펴볼 것이다. 이어서 복소수 위에서 정의된 타원곡선을 일반적인 체 위로 확장하기 위한 대수적 정의를 살펴볼 것이다. 두 번째 장에서는 대수적으로 정의된 타원곡선에 적용할 수 있는 여러 가지 대수적인 개념과 성질들을 알아본다. 최종적으로 이러한 대수적 도구를 이용해서 타원곡선에 대한 Weil 추측의 증명을 소개하는 것이 이 논문의 목표이다.