A Monte carlo simulation approach to the discrete-time jackson network

Abstract

본 논문에서는 몬테 카를로 시뮬레이션(Monte Carlo simulation)을 이용하여 두 개의 단수 서버 이산시간 잭슨 네트워크(Discrete-time Jackson network with two single-server nodes)에 대한 분석을 수행하였다. 이산시간 잭슨 네트워크는 연속시간 잭슨 네트워크에서 도착과정과 서비스 시간 분포를 각각 변화시켜 얻어지는 이산시간 대기행렬 시스템으로 도착과정을 포아송(Poisson) 도착과정에서 베르누이(Bernoulli) 도착과정으로, 서비스 시간 분포를 지수분포(Exponential distribution)에서 기하분포(Geometric distribution)로 바뀌어 얻어지는 이산시간 대기행렬 시스템이다. 이산시간 대기행렬 시스템은 시간 축이 슬롯(slot)이라고 부르는 단위 시간으로 나뉘어져 고객의 도착과 서비스가 슬롯 경계에서만 발생하는 대기행렬 시스템으로 디지털 통신 시스템에 대한 모델링 및 분석 필요성으로 활발히 연구되고 있다. 연속시간 잭슨 네트워크는 각 노드(Node)에 존재하는 고객 수 분포가 서로 독립이고 고객 수 분포에 대한 확률생성함수(PGF)가 알려져 있지만, 이산시간 잭슨 네트워크의 경우 이론적인 방법으로의 분석이 어려워 현재까지도 직렬 대기행렬(Tandem queue)과 같은 특수한 경우를 제외하고는 그 해가 알려지지 않았다. 이에 본 연구에서는 2개의 단수 서버 노드를 갖는 이산시간 잭슨 네트워크에 대하여 상태 전이 다이어그램(Transition diagram)과 평형 방정식(Balance equation)을 이용하여 각 노드에 존재하는 결합 고객 수 분포(Joint queue length distribution)에 대한 방정식을 제시하였다. 또한, 방정식과 정규화 조건(Normalizing condition)을 만족시키는 시험해(Trial solution)를 제시하고, 해당 시험해가 시스템의 유일해(Unique solution)인지에 대한 확인을 위하여 몬테 카를로 시뮬레이션을 수행하였다. 몬테 카를로 시뮬레이션을 통하여 얻어진 분포와 확률 값을 시험해가 가질 것으로 생각되는 분포 및 확률 값과 비교한 결과 해당 시험해는 시스템의 유일해가 아님을 확인하였다. 이를 통하여, 결합 고객 수 분포에 대한 방정식과 정규화 조건을 만족시키는 것만으로는 시스템의 유일해가 되기 위한 충분 조건을 만족시키지 못하며, 시스템에 대한 추가적인 식의 필요성을 제시하였다.