Generalized sampling: multi-channel/consistent sampling and superoscillations

Abstract

본 학위 논문은 샘플링 이론과 응용에 대한 세 가지 주제로 구성되어 있다.

먼저 이동불변공간의 다중채널 샘플링에서 손실된 샘플을 복원하는 문제를 다루었다. 특정 조건 하에서 이동불변공간의 신호는 다중채널 샘플을 이용하여 완벽히 표현할 수 있는데, 만약 오버 샘플링을 할 경우 이 샘플들 간의 상호 연관성이 생기기 때문에 사라진 샘플을 복원할 수 있다. 다중채널 오버 샘플링에서 유한 개 또는 무한 개의 샘플을 손실한 경우에 이것을 복원하기 위한 조건들을 찾았다. 이 연구는 대역 제한 또는 대역 통과 신호들에 대하여 유한 개의 샘플 복원만 다루었던 기존 연구 결과들을 확장한 것이다.

두 번째 주제는 추상적 힐버트 공간에서의 일반적인 일관 샘플링이다. 샘플은 입력 신호와 샘플링 벡터의 내적으로 표현되는데 이것을 이용하여 정해진 부분공간 안에서 입력 신호의 근사해, 특히 일관성을 만족하는 근사해를 찾는다. 여기서 일관성이란 근사해로부터 다시 얻은 샘플이 기존 샘플과 정확히 일치하는 것을 의미한다. 추상적 힐버트 공간에서의 일관 샘플링을 직합, 사투영 등의 개념을 이용하여 해석하고 합성 작용소와 해석 작용소를 통해 분석하였다. 또한 일관성 조건을 일반화한 부분일관성과 준일관성에 대해 고찰하였고 이것을 실제로 응용하기 위한 반복적 알고리즘을 찾았다.

마지막으로 대역 제한 신호의 초과진동 현상을 다루었다. 대역 제한 신호는 가장 높은 주파수보다 임의로 빠르게 유한 구간 안에서 진동 가능하다. 직관에 위배되는 이 현상을 초과진동이라고 부른다. 초과진동 신호는 일반적으로 진동 구간 바깥에서 매우 큰 진폭을 가지므로 최소 에너지 조건을 이용하여 초과진동을 구현하는 것이 효과적일 수 있다. 하지만 이 방법은 불량 조건 선형계에 의존하기 때문에 이 방법으로 구현한 초과진동 신호는 극한의 소거를 통해 나타난다. 초과진동에 관한 새로운 최적화 문제를 제시하였고 이를 통하여 더 효율적인 초과진동 신호 구현법을 찾았다. 이 새로운 초과진동 신호 구현법은 최소 에너지 방법보다 월등히 좋은 수치적 성질을 지니면서 최소 에너지에 근접한 초과진동 신호를 구현한다.