A study on the isogeometric shape and topology optimization of shell structures

Abstract

본 연구에서는 등기하해석 (Isogeometric analysis) 을 이용한 쉘 (Shell) 구조물의 형상 및 위상 최적화 기법을 제안하였다. 복잡한 위상을 가지는 쉘 구조물의 해석 및 최적화를 위해 2차원 트림곡면해석기법 (Trimmed surface analysis) 의 기본 개념을 쉘 구조물에 알맞게 확장 적용하였다. 트림곡면해석기법은 트리밍기법 (Trimming techniques) 이 적용된 등기하해석으로 복잡한 위상의 쉘 구조물을 여러 개의 조각 (Patch) 으로 나누지 않고 효과적으로 해석할 수 있다. 본 연구에서는 Reissner-Mindlin 쉘 이론을 바탕으로 한 감절점 (Degenerated) 쉘 요소를 사용하였다. 기존 유한요소법 (Finite element method) 에서와는 달리, 등기하해석을 사용할 경우 NURBS (Non-uniform rational B-spline) 의 높은 연속성을 이용하여 임의의 점에서 곡면 방향벡터 (Surface direction vector) 를 직접적으로 정확하게 구할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 기존의 등기하해석에서 사용되던 쉘 수식화를 정확한 방향벡터와 그 미분벡터를 도입하여 개선하였다. 선형탄성 예제를 통해 제안된 쉘 수식화를 검증하였다. 등기하해석을 이용한 복잡한 위상을 가지는 쉘 구조물의 형상최적설계에서는 쉘의 내부 및 외부 경계를 자유롭게 변화 가능하도록 곡면 제어점 좌표와 트리밍 (Trimming) 곡선 제어점 좌표를 설계변수로 하였다. 정확한 방향벡터 및 그 미분벡터를 도입하여 설계변수에 대한 형상민감도 수식화를 개선하였으며, 그 정확성을 검증하였다. MMA (Method of moving asymptotes) 를 최적화 알고리즘으로 사용하여 복잡한 위상을 가지는 쉘 구조물의 형상최적설계문제를 다루었으며, 제안한 방법을 통해 성공적인 최적화 결과를 도출할 수 있었다. 본 연구에서는 등기하해석을 이용한 쉘 구조물의 위상최적화에 대한 연구도 수행되었다. 위상최적화 과정에서 빈번하게 나타나는 복잡한 위상의 영역은 트림곡면해석기법을 이용하여 효율적으로 해석하였다. 트리밍 곡선을 이용하여 설계영역의 위상을 표현하며 내부 홀 (Hole) 의 생성여부 및 생성위치는 균일한 수학적 판단기준인 선택지수 (Selection criteria) 를 도입하여 정해지도록 하였다. 홀 생성에 대한 선택지수의 계산과정에서 위상민감도 (Topology sensitivity) 가 사용되었으며 사용된 위상민감도 수식화를 검증하였다. 영역의 위상이 결정 된 이후, 영역의 형상 최적화를 수행하여 내부와 외부경계의 최적형상을 도출하였다. 매 축차에서 갱신된 경계의 형상은 부드러운 경계표현과 강건한 수렴을 위해 적응적으로 처리되었다. 예제를 통해 본 연구에서 제안한 방법을 이용하여 적절하고 수용 가능한 쉘 구조물의 위상을 도출할 수 있음을 확인하였다. 기존의 요소기반 (Cell-based) 위상최적화 방법에서 나타나는 gray scales 또는 checkerboard patterns 없이 트리밍 곡선을 통해 부드럽고 명확하게 재료 레이아웃 (Layout) 을 나타낼 수 있는 것으로 확인되었다. 따라서, 후처리 (Post-processing) 또는 필터링 (Filtering) 을 추가적으로 필요로 하지 않는다. 전체 최적화 과정에서 CAD (Computer-aided design) 에서 사용되는 동일한 IGES 포맷이 사용되었기 때문에 최적화 결과는 별도의 처리 없이 CAD 프로그램에 바로 삽입 가능한 장점이 있다.